Question

【題目】從某公司生產線生產的某種產品中抽取件，測量這些產品的一項質量指標，由檢測結果得如圖所示的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這件產品質量指標的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（Ⅱ）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為樣本平均數近似為樣本方差.

（i）利用該正態分布，求；

（ii）已知每件該產品的生產成本為元，每件合格品（質量指標值）的定價為元；若為次品（質量指標值），除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶元。若該公司賣出件這種產品，記表示這件產品的利潤，求.

附：.若，則 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均數200,方差；（Ⅱ）（i）0.95；(ii)280.

【解析】

（Ⅰ）根據圖中的數據及平均數、方差的定義可得所求．（Ⅱ）(i)根據正態分布中特殊區間上的概率求解；(ii)先由正態分布得到，然后再根據均值的線性性質求解即可．

（Ⅰ）由題意得

．

∴ ，

即樣本平均數為，樣本方差為．

（Ⅱ）(i)由（Ⅰ）可知，，，

∴,

∴，

(ii)設表示100件產品的正品數，由題意得

∴，

∴．