Question

設點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點，F₁，F₂分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF₁|=2|PF₂|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

• B、

  5

  2

• C、

  10

• D、

  10

  2

Answer 1

分析：由P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點，推導出∠F₁PF₂=90°．再由|PF₁|=2|PF₂|，知|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由此求出c=

5

a，從而得到雙曲線的離心率．

解答：解：∵P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點，
∴點P到原點的距離|PO|=

a2+b2

=c，
∴∠F₁PF₂=90°，
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a，∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∴16a²+4a²=4c²，
∴c=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．