Question

在平面直角坐標系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M(

x2-9

，0)，O為坐標原點，若實數λ使向量

A1P

，λ

OM

和

A2P

滿足：λ2(

OM

)2=

A1P

•

A2P

，設點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程，并判斷W是怎樣的曲線；
（Ⅱ）當λ=

3

3

時，過點A₁且斜率為1的直線與W相交的另一個交點為B，能否在直線x=-9上找到一點C，恰使△A₁BC為正三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知λ2(

OM

)2=

A1P

•

A2P

得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1），對λ²分類討論，即可得到結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=

3

3

，

x2

9

+

y2

6

=1，由

x2 9 + y2 6 =1 y=x+3

可得5x²+18x+9=0，求得|A1B|=

12 2

5

，|A₁C|＞

12 2

5

，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由已知λ2(

OM

)2=

A1P

•

A2P

得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1）…（2分）
①λ²＞1，方程為

x2

9

-

y2

9(λ2-1)

=1，焦點在x軸上的雙曲線
②λ²=0，圓心在原點，半徑為3的圓
③0＜λ²＜1，

x2

9

+

y2

9(1-λ2)

=1，焦點在x軸上的橢圓
④λ²=1，直線 y=0…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=

3

3

，

x2

9

+

y2

6

=1
設直線A₁B方程為y=x+3，由

x2 9 + y2 6 =1 y=x+3

可得5x²+18x+9=0…（10分）
∴A₁（-3，0），B（-

3

5

，

12

5

）
∴|A1B|=

12 2

5

，
在直線x=-9上，離A₁（-3，0），最短距離為6，
∴|A₁C|＞

12 2

5

，故無法形成正三角形
∴在直線x=-9上不存在點C，恰使△A₁BC為正三角形              …（12分）

點評：本題考查曲線與方程，考查分類討論的數學思想，考查直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．