Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足．
（1）求
（2）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值．

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析，；（3）的最大值為．

試題分析：（1）根據(jù)條件中，可令，結(jié)合，即可得：；（2）欲證是等差數(shù)列，而條件中，因此可以首先根據(jù)數(shù)列滿足的條件探究與滿足的關(guān)系，進(jìn)而可以得到數(shù)列中與滿足的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，，
∴，即，∴，
又∵ ，∴，而，∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，；
（3）由（2）結(jié)合條件，可得，因此可以考慮采用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和：，從而可將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式：，結(jié)合，即可知的最大值為．
試題解析：（1）∵，∴令n=1，；
（2）證明：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，即，∴，
又∵ ，∴，而，∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，∴；
（3）由（2）及 ，∴c_n＝log₂＝log₂2ⁿ＝n，
∴，∴ ，
∴，
又∵，∴的最大值為．