Question

已知等比數(shù)列的公比q＞0，a₁=

1

2

，且a₁是3a₂與2a₃的等差中項(xiàng)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

21

2

+log2an(n∈N*），記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n為何值時(shí)，S_n取得最大值？

Answer 1

分析：（1）依題意可求得等比數(shù)列{a_n}的公比q，利用其通項(xiàng)公式即可求得a_n；
（2）由（1）知a_n=(

1

2

)n，于是可求得b_n=

21

2

-n，易證數(shù)列{b_n}是以

19

2

為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，從而可求其前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，a₁是3a₂與2a₃的等差中項(xiàng)，
∴3a₁q+2a₁q²=2a₁，又a₁=

1

2

，
∴q=

1

2

或q=-2（舍去），
∴a_n=(

1

2

)n；
（2）∵b_n=

21

2

+log₂a_n=

21

2

+log₂(

1

2

)n=

21

2

-n，
∴b_n+1=

21

2

-（n+1），
∴b_n+1-b_n=-1，又b₁=

19

2

，
∴數(shù)列{b_n}是以

19

2

為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

19

2

n+

n(n-1)

2

×（-1）
=-

1

2

n²+10n．
=-

1

2

（n-10）²+50，
∴當(dāng)n=10時(shí)，S₁₀取得最大值50．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，著重考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的公式法求和，屬于中檔題．