Question

設向量=（0，2），=（1，0），過定點A（0，-2），以+λ方向向量的直線與經過點B（0，2），以向量-2λ為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設過E（1，0）的直線l與C交于兩個不同點M、N，求•的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設P（x，y），∵=（0，2），=（1，0），∴+λ=（λ，2），-2λ=（1，-4λ），
過定點A（0，-2），以+λ方向向量的直線方程為：2x-λy-2λ=0，
過定點B（0，2），以-2λ方向向量的直線方程為：4λx+y-2=0，
聯立消去λ得：8x²+y²=4∴求點P的軌跡C的方程為8x²+y²=4．
（Ⅱ）當過E（1，0）的直線l與x軸垂直時，l與曲線C無交點，不合題意，
∴設直線l的方程為：y=k（x-1），l與曲線C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由?（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0，則，
又=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），
∴•=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（1+k²）（x₁+x₂）+1+k² =（1+k²）（-+1）==4-，
∵0≤k²＜8，∴•的取值范圍是[，）．
分析：（Ⅰ）設P（x，y），求得過定點A（0，-2），以+λ方向向量的直線方程，以及過定點B（0，2），以-2λ方向向量的直線方程，消去λ即得點P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）用點斜式設直線l的方程，代入曲線C的方程得到根與系數的關系，判別式大于零，代入• 的式子化簡，求得 •的取值范圍．
點評：本題考查求點的軌跡方程，一元二次方程根與系數的關系，兩個向量的數量積公式，化簡•是解題的難點．