Question

已知橢圓＝1(a>b>0)的離心率為，且過點P，A為上頂點，F為右焦點．點Q(0，t)是線段OA(除端點外)上的一個動點，

過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點M，以QM為直徑的圓的圓心為N.
(1)求橢圓方程；
(2)若圓N與x軸相切，求圓N的方程；
(3)設點R為圓N上的動點，點R到直線PF的最大距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

（1）＝1（2）（3）

(1)∵e＝不妨設c＝3k，a＝5k，則b＝4k，其中k>0，故橢圓方程為＝1(a>b>0)，∵P在橢圓上，∴＝1解得k＝1，∴橢圓方程為＝1.
(2)k_AP＝,則直線AP的方程為y＝－x＋4，
令y＝t，則x＝∴M.∵Q(0，t)∴N，
∵圓N與x軸相切，∴＝t，由題意M為第一象限的點，則＝t，解得t＝.∴N，圓N的方程為.
(3)F(3，0)，k_PF＝，∴直線PF的方程為y＝(x－3)即12x－5y－36＝0，
∴點N到直線PF的距離為，
∴d＝＋(4－t)，∵0<t<4，
∴當0<t≤時，d＝(6－5t)＋(4－t)＝，此時≤d<，
當<t<4時，d＝(5t－6)＋(4－t)＝，此時<d<，
∴綜上，d的取值范圍為.