Question

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長為的菱形， ， ，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析: （1）連接BD，交AC于點O，設PC中點為F，由已知結合三角形中位線定理可得四邊形OFED為平行四邊形，則OD∥EF，即BD∥EF．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．又ABCD是菱形，得BD⊥AC．由線面垂直的判定可得BD⊥平面PAC．則EF⊥平面PAC．進一步得到平面PAC⊥平面PCE．

（2）由∠ABC=60°，可得△ABC是等邊三角形，得AC=2．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC．求出三角形PAC的面積證得EF是三棱錐E﹣PAC的高，利用P﹣ACE的體積等于E﹣PAC的體積求解.

解析:

（1）證明：連接，交于點，設中點為，

連接 ， ．

因為， 分別為， 的中點，

所以，且，

因為，且，

所以,且

所以四邊形為平行四邊形，所以，即．

因為平面， 平面，所以．

因為是菱形，所以．

因為,所以平面

因為,所以 平面

因為平面,所以平面平面

（2）因為，所以△是等邊三角形，所以．

又因為平面， 平面， ．

因為面，所以是三棱錐的高，,

平面,

所以點到平面的距離