Question

已知橢圓:的離心率,原點到過點,的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動點關于直線的對稱點為,求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點,,且,都在以為圓心的圓上,求的值.

Answer 1

（1）（2）（3）

解析試題分析：（1）由截距式可得直線的方程，根據點到線的距離公式可得間的關系，又因為，解方程組可得的值。（2）由點關于直線的對稱點問題可知直線和直線垂直，且的中點在直線上，由此可用表示出。再將點代入橢圓方程將用表示代入上式，根據橢圓方程可的的范圍，從而可得出所求范圍。（3）將直線和橢圓方程聯立，消去得關于的一元二次方程，根據韋達定理可得根與系數的關系。根據題意可知，可根據斜率相乘等于列出方程，也可轉化為向量數量積為0列出方程。
試題解析：(Ⅰ)因為,,所以 .
因為原點到直線:的距離,解得,.
故所求橢圓的方程為.             4分
(Ⅱ)因為點關于直線的對稱點為, 
所以    解得 ,.
所以.
因為點在橢圓:上,所以. 
因為, 所以.所以的取值范圍為.  8分
(Ⅲ)由題意消去 ,整理得.可知.
設,,的中點是, 
則,. 
所以.  所以.   
即 .  又因為,  
所以.
所以                                     13分
考點：1點到線的距離； 2橢圓方程；3點關于線的對稱點；4轉換思想。