Question

在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,設M、N、E、F分別是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點,求證:

(1)E、F、B、D四點共面;

(2)平面AMN∥平面EFBD.

Answer 1

證明:(1)如圖,由E、F為C₁D₁、B₁C₁中點,則EF∥B₁D₁.又BD∥B₁D₁,∴EF∥BD.

∴E、F、B、D四點共面.

(2)同上,MN∥B₁D₁,∴MN∥EF.又EF平面EFBD,

MN平面EFBD,∴MN∥平面EFBD.

又NFA₁B₁ABANFB為平行四邊形AN∥BF,

同理,可推出AN∥平面EFBD.

又AN與MN相交,∴平面AMN∥平面EFBD.