Question

如圖，已知橢圓的方程為，雙曲線的兩條漸近線為、.過橢圓的右焦點作直線，使，又與交于點，設與橢圓的兩個交點由上至下依次為、.

（1）若與的夾角為，且雙曲線的焦距為，求橢圓的方程；

（2）求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先確定雙曲線的漸近線方程，根據條件兩條漸近線的夾角為，確定與的等量關系，再結合的值，確定與的值，最終確定橢圓的方程；（2）設點的坐標為，并設得到，利用向量的坐標運算得到，，再由點在橢圓上這一條件將點的坐標代入橢圓方程，通過化簡得到與離心率之間的關系式，結合基本不等式得到的最大值.

試題解析：（1）因為雙曲線方程為，

所以雙曲線的漸近線方程為．

因為兩漸近線的夾角為且，所以．

所以，所以．

 

因為，所以，

所以，．

所以橢圓的方程為；

（2）因為，所以直線與的方程為，其中.

因為直線的方程為，

聯立直線與的方程解得點.

設，則.

因為點，設點，則有．

解得，.

因為點在橢圓上，

所以．

即．

等式兩邊同除以得，，

所以，

 

所以當，即時，取得最大值．

故的最大值為.

考點：1.雙曲線的漸近線方程；2.橢圓的方程；3.三點共線的轉化