Question

【題目】已知雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點為F（3，0），左、右頂點分別為M，N，點P是E在第一象限上的任意一點，且滿足kPMkPN＝8．

（1）求雙曲線E的方程；

（2）若直線PN與雙曲線E的漸近線在第四象限的交點為A，且△PAF的面積不小于3，求直線PN的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x21．（2）0＜k．

【解析】

（1）根據kPMkPN＝8恒成立及c＝3列出方程組，從而可得出a，b的值；

（2）設直線PA的方程為：x＝my+1，用m表示出P、A的縱坐標，得出三角形PAF的面積關于m的函數，求出m的范圍，從而求出k的范圍．

（1）設P（x0，y0），則kPM，kPN，

∴kPMkPN8，即8x02﹣8a2，

又P（x0，y0）是雙曲線上的點，∴1，即y02x02﹣b2，

∴8，又雙曲線的右焦點為（3，0），∴a2+b2＝9．

∴a2＝1，b2＝8，

∴雙曲線的方程為：x21．

（2）由（1）可知N（1，0），雙曲線的過第四象限的漸近線方程為y＝﹣2x，

設直線PN的方程為：x＝my+1，則直線PN的斜率為k，顯然m＞0．

聯立方程組，可得yA，

聯立方程組，可得yP，

∴S△PAF（yP﹣yA），

令3，解得m，

∴0，即0＜k．