Question

（北京卷理14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設頂點p（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則f（x）的最小正周期為

 

；y=f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區域的面積為

 

說明：“正方形PABC沿X軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續．類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動．

Answer 1

分析：由題中信息可知無論正方形是沿著x軸的正方向還是負方向滾動，再次使用點P與x軸接觸的x軸方向的路程是4，故其最小正期為4，在正方形的翻滾過程中，函數y=f（x）的兩個相鄰零點間點P的軌跡如圖所示，可得其面積．

解答：解：不難想象，從某一個頂點（比如A）落在x軸上的時候開始計算，到下一次A點落在x軸上，這個過程中四個頂點依次落在了x軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長1，因此該函數的周期為4．下面考察P點的運動軌跡，不妨考察正方形向右滾動，P點從x軸上開始運動的時候，首先是圍繞A點運動

1

4

個圓，該圓半徑為1，然后以B點為中心，滾動到C點落地，其間是以BP為半徑，旋轉90°，然后以C為圓心，再旋轉90°，這時候以CP為半徑，因此最終構成圖象如下：故其與x軸所圍成的圖形面積為S=

1

2

 π×12+

1

4

 ×π×(

2

)2+2×

1

2

×1×1=π+1
故答案為：4，π+1

點評：考查了數形結合的思想，以及函數零點的概念和零點的判斷，本題是一道信息題，考查學生的分析問題能力、閱讀能力、推理能力和應用知識解決問題的能力．