Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x

x+2

(x＞0)，觀察：f1(x)=f(x)=

x

x+2

，f2(x)=f[f1(x)]=

x

3x+4

，f3(x)=f[f2(x)]=

x

7x+8

f4(x)=f[f3(x)]=

x

15x+16

------根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N₊且n＞1時(shí)，f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．

Answer 1

分析：觀察所給的前四項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先觀察分子，只有一項(xiàng)組成，并且沒(méi)有變化，在觀察分母，有兩部分組成，是一個(gè)一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的變化特點(diǎn)，得到結(jié)果．

解答：解：f(x)=

x

x+2

(x＞0)，
觀察：f1(x)=f(x)=

x

x+2

，
f2(x)=f[f1(x)]=

x

3x+4

，
f3(x)=f[f2(x)]=

x

7x+8

，
f4(x)=f[f3(x)]=

x

15x+16

…
所給的函數(shù)式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數(shù)分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的數(shù)分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

故答案為：

x

(2n-1)x+2n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了歸納推理，實(shí)際上本題考查的重點(diǎn)是給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．