Question

已知方程x²+y²+4x-2y-4=0，則x²+y²的最大值是

14+6

5

．

Answer 1

分析：把已知的方程配方后，得到此方程表示以B為圓心，3為半徑的圓，在平面直角坐標系中畫出此圓，所求式子即為圓上的點到原點的距離的平方，即要求出圓上的點到原點的最大距離，故連接OB并延長，與圓B交于A點，此時A到原點的距離最大，|AB|為圓B的半徑，利用兩點間的距離公式求出|OB|的長，根據|AB|+|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即為所求式子的最大值．

解答：解：方程x²+y²+4x-2y-4=0變形得：
（x+2）²+（y-1）²=9，
表示圓心B（-2，1），半徑為3的圓，
畫出相應的圖形，如圖所示：

連接OB并延長，與圓B交于A點，此時x²+y²的最大值為|AO|²，
又|AO|=|AB|+|BO|=3+

(-2)2+12

=3+

5

，
則|AO|²=（3+

5

）²=14+6

5

，即x²+y²的最大值為14+6

5

．
故答案為：14+6

5

點評：此題考查了圓的標準方程，以及兩點間的距離公式，利用了轉化及數形結合的數學思想，其中找出適當的A點，根據題意得出所求式子的最大值為|AO|²是解本題的關鍵．