Question

若橢圓C₁：＋＝1(0<b<2)的離心率等于，拋物線C₂：x²＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在橢圓C₁的頂點(diǎn)上．
(Ⅰ)求拋物線C₂的方程；
(Ⅱ)若過(guò)M(－1,0)的直線l與拋物線C₂交于E、F兩點(diǎn)，又過(guò)E、F作拋物線C₂的切線l₁、l₂，當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

(Ⅰ)已知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a＝2，半焦距c，
由離心率e＝得，b²＝1.
∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0,1)，即拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，
∴p＝2，拋物線的方程為x²＝4y.
(Ⅱ)由題知直線l的斜率存在且不為零，則可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，
∵y＝x²，∴y′＝x，
∴切線l₁，l₂的斜率分別為x₁，x₂，
當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，x₁·x₂＝－1，即x₁·x₂＝－4，
得：x²－4kx－4k＝0，
由Δ＝(－4k)²－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.
又x₁·x₂＝－4k＝－4，得k＝1.
∴直線l的方程為x－y＋1＝0.

略