Question

（選做題）已知函數f（x）=|x-a|．不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}．
（1）求實數a的值；
（2）若f（x）+f（x+5）≥c²-4c對一切實數x恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值不等式的解法法則，得{x|a-3≤x≤a+3}與{x|-1≤x≤5}是同一集合，再比較端點處的值，即可得到實數a的值．
（2）根據絕對值不等式的性質，得已知不等式左邊的最小值是5，由此得到關于c的不等式，解之即得實數c的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）≤3即|x-a|≤3，得a-3≤x≤a+3．
∴f（x）≤3的解集是[a-3，a+3]，
結合題意，得

a-3=-1 a+3=5

，可得a=2．
（2）∵f（x）=|x-2|，
∴原不等式即：|x-2|+|x+3|≥c²-4c對一切實數x恒成立，
∵|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，即|x-2|+|x+3|的最小值為5
∴5≥c²-4c，即c²-4c-5≤0，解之得-1≤c≤5

點評：本題給出含有絕對值的函數，要我們解絕對值不等式并求不等式恒成立時參數的取值范圍，著重查了絕對值不等式的解法和不等式恒成立問題的處理方法等知識，屬于中檔題．