Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，證明：曲線沒有經(jīng)過坐標原點的切線.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.

（2）先討論過原點的切線斜率是否存在.當斜率不存在時,切線為y軸,分析可知不成立.當斜率存在時,可設(shè)出切線方程和切點坐標.建立方程組,判斷方程組無解,即可證明不存在這樣的切線.

（1）定義域為,

.

當時,,

當時,.

所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

（2）因為定義域為,所以軸不是曲線的切線.

當經(jīng)過坐標原點的直線不是軸時,設(shè)是曲線的切線,切點是.

因為,所以.

消去得,即.

由（1）知在處取得最小值,則,

所以無解.

因此曲線沒有經(jīng)過坐標原點的切線.