Question

某校高三某班在一次體育課內(nèi)進(jìn)行定點(diǎn)投籃賽，A、B為兩個定點(diǎn)投籃位置，在A處投中一球得2分，在B處投中一球得3分．學(xué)生甲在A和B處投中的概率分別是

1

2

和

1

3

，且在A、B兩處投中與否相互獨(dú)立．
（1）若學(xué)生甲最多有2次投籃機(jī)會，其規(guī)則是：按先A后B的次序投籃．只有首先在A處投中后才能到B處進(jìn)行第二次投籃．否則中止投籃，試求他投籃所得積分ξ的分布列和期望Eξ；
（2）若學(xué)生甲有5次投籃機(jī)會，其規(guī)則是：投籃點(diǎn)自由選擇，共投籃5次，投滿5次后中止投籃，求投滿5次時的積分為9分的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可知隨機(jī)變量ξ表示他投籃所得積分，由題意可得ξ的所有可能值為：0，2，5，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件的概率公式即可求得其分布列及期望；
（2）設(shè)“學(xué)生甲投滿5次時的積分為9分”為事件C；“在A處投4球中3次，在B處投一球中1次”為事件A₁，“在A處投3球中3次，在B處投2球中1次“為事件A₂，
“在A處投2球中0次，在B處投3球中3次”為事件A₃，“在A處投1球中0次，在B處投4球中3次“為事件A₄，“在B處投5球中3次”為事件A₅，可知A₁，A₂，A₃，A₄，A₅為互斥事件的概率公式即可求得．

解答：解：（1）由題意可知隨機(jī)變量ξ表示他投籃所得積分，由題意可得ξ的所有可能值為：0，2，5．
P（ξ=0）=1-

1

2

=

1

2

，P（ξ=2）=

1

2

×(1-

1

3

)=

1

3

，P（ξ=5）=

1

2

×

1

3

=

1

6

，
所以隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：

所以隨機(jī)變量期望Eξ=0×

1

2

+2×

1

3

+3×

1

6

=

3

2

；
（2）設(shè)“學(xué)生甲投滿5次時的積分為9分”為事件C；“在A處投4球中3次，在B處投一球中1次”為事件A₁，“在A處投3球中3次，在B處投2球中1次“為事件A₂，
“在A處投2球中0次，在B處投3球中3次”為事件A₃，“在A處投1球中0次，在B處投4球中3次“為事件A₄，“在B處投5球中3次”為事件A₅，可知A₁，A₂，A₃，A₄，A₅為互斥事件，則
P（C）=P（A₁+A₂+A₃+A₄+A₅）=

C

3 4

×(

1

2

)3+(1-

1

2

)×

1

3

+

C

3 3

×  (

1

2

)3 ×

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)+

C

0 2

 ×(1-

1

2

)2×

C

3 3

×(

1

3

)3+(1-

1

2

)×

C

3 4

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)+

C

3 5

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2=

88

243

．

點(diǎn)評：此題考查了離散型隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件的概率公式，還考查了隨機(jī)變量的分布列及期望，另外還考查了互斥事件的概率公式及學(xué)生的計(jì)算能力．