Question

設(shè)向量

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx）（x∈R，ω＞0），已知函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1的最小正周期是

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最大值，并求出f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx），結(jié)合函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1和平面向量數(shù)量積公式，我們易求出函數(shù)的解析式，進而根據(jù)函數(shù)f（x）的最小正周期是

π

2

，進而求出ω的值；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，我們易得到（x）的最大值，及f（x）取得最大值的x的集合．

解答：解：（1）∵

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx）
∴函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1=2cos²ωx+2sinωx•cosωx+1
=cos2ωx+1+sin2ωx+1
=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2
∵函數(shù)f（x）的最小正周期是

π

2

即

π

ω

=

π

2

∴ω=2
（2）由（1）可得f（x）=

2

sin（4x+

π

4

）+2
故當(dāng)4x+

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z時，函數(shù)取最大值2+

2

此時x∈{x|x=

π

16

+

k

2

π，k∈Z}

點評：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積公式，正弦型函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系，正弦型的最值，其中根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．