Question

已知f（x）=

3

sin²x+sinxcosx+

2- 3

2

．
（1）求f（x）的周期和單調減區間；
（2）求f（x）的對稱軸；
（3）求f（x）在區間[-

π

3

，

π

3

]上的最值并求出取最值時的x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=sin（2x-

π

3

）+1，從而可求f（x）的周期和單調減區間；
（2）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的對稱軸；
（3）先求2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]，從而可求f（x）在區間[-

π

3

，

π

3

]上的最值并求出取最值時的x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin²x+sinxcosx+

2- 3

2

=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x+

2- 3

2

=sin（2x-

π

3

）+1
∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z
∴f（x）的周期為π，單調減區間是：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z
（3）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]
∴2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]
∴當x=

π

3

時，f（x）_max=f（

π

3

）=

3

2

+1
當x=-

π

12

時，f（x）_min=f（-

π

12

）=0

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．