Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩焦點關于直線y=x的對稱點均在橢圓內部，則橢圓的離心率e的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，橢圓的兩焦點關于直線y=x的對稱點為F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．由點F₁'與F₂'都在橢圓的內部建立關于a、b、c的不等式，解出a＞

2

c，再利用橢圓離心率的公式加以計算，可得該橢圓的離心率范圍．

解答：解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
∴兩焦點關于直線y=x的對稱點為F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．
∵點F₁'與F₂'都在橢圓的內部，
∴

02

a2

+

c2

b2

＜1，即

c2

a2-c2

＜1，解之得a＞

2

c，因此可得e=

c

a

＜

2

2

，
又∵橢圓的離心率e∈（0，1），∴該橢圓的離心率e∈（0，

2

2

）．
故答案為：（0，

2

2

）

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率的取值范圍．著重考查了對稱點的求法、點到橢圓的位置關系和橢圓的標準方程及其簡單性質等知識，屬于基礎題．