Question

已知指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域為R上的函數f(x)=

-g(x)+n

g(x)+m

是奇函數．
（Ⅰ）求y=g（x）與y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷y=f（x）在R上的單調性并用單調性定義證明；
（Ⅲ）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，試證：-1＜3f（b）＜0．

Answer 1

分析：（I）根據指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；由題意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程組即可求出m，n的值，即可求出y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據指數函數的圖象和性質，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據函數單調性的定義可判斷y=f（x）在R上的單調性
（Ⅲ）若方程f（x）=b，可得b∈（0，1），進而可得f（1）＜f（b）＜f（0），進而得到結論．

解答：解：（I）設g（x）=a^x（a＞0，a≠1），由g（2）=4得a=2，故g（x）=2^x，…（2分）
∵函數f(x)=

-g(x)+n

g(x)+m

=

-2x+n

2x+m

是奇函數
∴f（0）=

-1+n

1+m

=0
∴n=1；又由f（1）=-f（-1）知

-2 +1

2 +m

=-

- 1 2 +1

1 2  +m

，解得m=1
∴f（x）=

1-2x

1+2x

（II）f（x）=

1-2x

1+2x

在（-∞，+∞）上為減函數，理由如下：
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）=

1-2x

1+2x

在（-∞，+∞）上為減函數
證明：（III）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，
即

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1=b在（-∞，0）上有解，
∵此時2^x∈（0，1）
∴

2

1+2x

-1∈（0，1）
從而b∈（0，1）
由（II）得f（x）=

1-2x

1+2x

在（-∞，+∞）上為減函數
∴f（1）＜f（b）＜f（0）．
即-

1

3

＜f（b）＜0
即：-1＜3f（b）＜0

點評：本題考查的知識點：待定系數法求指數函數的解析式，函數的奇偶性和函數單調性的性質，方程的根與函數零點的關系，是函數問題的簡單綜合應用，難度中檔