Question

（2013•綿陽二模）已知函數f（x）=

1

3

x³-2x²+3x（x∈R）的圖象為曲線C．
（1）求曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；
（2）若曲線C上存在兩點處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標取值范圍；
（3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，然后根據導函數求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；
（2）根據（1）可知k與-

1

k

的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點的橫坐標取值范圍；
（3）設存在過點A（x₁，y₁）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x₂，y₂），x₁≠x₂，分別求出切線，由于兩切線是同一直線，建立等式關系，根據方程的解的情況可得是符合條件的所有直線方程．

解答：解：（1）f'（x）=x²-4x+3，則f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍是[-1，+∞）；------------（4分）
（2）由（1）可知，

k≥-1 - 1 k ≥-1

---------------------------------------------------------（6分）
解得-1≤k＜0或k≥1，由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：x∈（-∞，2-

2

]∪（1，3）∪[2+

2

，+∞）；-------------------------------（9分）
（3）設存在過點A（x₁，y₁）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x₂，y₂），x₁≠x₂，
則切線方程是：y-（

1

3

x

3 1

-2

x

2 1

+3x₁）=（

x

2 1

-4x₁+3）（x-x₁），
化簡得：y=（

x

2 1

-4x₁+3）x+（-

2

3

x

3 1

+2

x

2 1

），--------------------------（11分）
而過B（x₂，y₂）的切線方程是y=（

x

2 2

-4x₁+3）x+（-

2

3

x

3 2

+2

x

2 2

），--------------------------（，
由于兩切線是同一直線，
則有：

x

2 1

-4x₁+3=

x

2 2

-4x₁+3，得x₁+x₂=4，----------------------（13分）
又由-

2

3

x

3 1

+2

x

2 1

=-

2

3

x

3 2

+2

x

2 2

，
即-

2

3

（x₁-x₂）（

x

2 1

+x₁x₂+

x

2 2

）+（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-

1

3

（

x

2 1

+x₁x₂+

x

2 2

）+4=0，即x₁（x₁+x₂）+

x

2 2

-12=0
即（4-x₂）×4+

x

2 2

-12=0，

x

2 2

-4x₂+4=0
得x₂=2，但當x₂=2時，由x₁+x₂=4得x₁=2，這與x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點．----------------------------------（16分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及互相垂直的直線的斜率關系，同時考查了運算能力，屬于中檔題．