Question

已知焦點在x軸上，離心率為

2 5

5

的橢圓的一個頂點是拋物線x²=4y的焦點，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于點M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓的離心率為

2 5

5

，所以

c

a

=

2 5

5

，又因為橢圓的一個頂點是拋物線x²=4y的焦點，且橢圓的焦點在x軸上，所以b=1，再根據a，b，c的關系，就能求出a的值，橢圓的方程可得．
（2）可先設出A、B、M的坐標，代入

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，就可找到幾個點坐標的關系式，再根據A，B再橢圓上，滿足橢圓方程，消去參數，就可求出λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）依題意，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
因為拋物線x²=4y的焦點為（0，1），所以b=1．
由e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2 5

5

，得a=

5

．
故橢圓方程為

x2

5

+y2=1．
（2）依題意設分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（0，y₀），
由（1）得橢圓的右焦點F（2，0），

所以 MA =(x1，y1-y0)， AF =(2-x1，y1) MB =(x2，y2-y0)， BF =(2-x2，-y2).

由

MA

=λ1

AF

，得

x1= 2λ1 1+λ1 y1= y0 1+λ1 .

由

MB

=λ1

BF

，得

x2= 2λ2 1+λ2 y2= y0 1+λ2 .

因為A、B在橢圓上，所以

1 5 ( 2λ2 1+λ1 )2+( y0 1+λ1 )2-1 1 5 ( 2λ2 1+λ2 )2+( y0 1+λ2 )2=1

即

λ 2 2 +10λ1+(5-5 y 2 0 )=0 λ 2 2 +10λ2+(5-5 y 2 0 )=0.

所以λ₁，λ₂是方程λ²+10λ+（5-5y₀²）=0的兩根，
故λ₁+λ₂=-10是定值．

點評：本題考查了直線與橢圓 的位置關系，做題時要認真分析，找到突破口．