Question

設圓的方程是（x-a）²+（y+b）²=a²+b²（其中a＞0且b＞0），給出下列三種說法：（1）該圓的圓心坐標為（a，b）．（2）該圓過原點．（3）該圓與x軸相交于兩個不同點．其中（ ）
A．只有（1）與（2）正確
B．只有（1）與（3）正確
C．只有（2）與（3）正確
D．（1）、（2）與（3）都正確

Answer 1

【答案】分析：由圓的標準方程找出圓心坐標，即可判斷選項（1）正確與否；把圓心坐標代入圓的方程左右兩邊相等，故圓過原點，選項（2）正確；令圓方程中y=0，得到關于x的方程，由a大于0，得到方程有兩解，故圓與x軸相交于兩個不同交點，選項（3）正確．
解答：解：∵圓的方程是（x-a）²+（y+b）²=a²+b²（其中a＞0且b＞0），
∴圓心坐標為（a，-b），故選項（1）錯誤；
把原點坐標（0，0）代入圓的方程得：
方程左邊=（x-a）²+（y+b）²=（0-a）²+（0-b）²=a²+b²=方程右邊，
∴該圓過原點，故選項（2）正確；
令y=0，得到：
方程左邊=（x-a）²+（0+b）²=（x-a）²+b²=x²-2ax+a²+b²=a²+b²，
即x²-2ax=0，解得x₁=0，x₂=2a，
∴該圓與x軸有兩個交點，故選項（3）正確，
則選項（2）和（3）正確．
故選C
點評：此題考查了圓的標準方程，點與圓位置關系的判斷方法，以及圓與坐標軸的交點坐標，要求學生會根據圓的標準方程找出圓心與半徑，會求圓與坐標軸的交點坐標．