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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知O，A，B是平面上不共線三點，設P為線段AB垂直平分線上任意一點，若|
OA
|=7，|
OB
|=5，則
OP
•(
OA
-
OB
)的值為
12
12
．
分析：設M是AB的中點，將向量
OP
表示成
OM
+
MP
，而
OA
-
OB
=
BA
，從而
OP
•(
OA
-
OB
)=
OM
•
BA
+
MP
•
BA
，再結合P為線段AB垂直平分線上任意一點，得
MP
•
BA
=0，轉化為求數量積
OM
•
BA
，再用
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，
OA
-
OB
=
BA
代入，得
OP
•(
OA
-
OB
)=
1
2
(|
OA
| 2-|
OB
| 2)，結合已知條件的數據，不難得出這個數量積．
解答：解：根據題意，設M是線段AB的中點，得
OP
=
OM
+
MP
，
OA
-
OB
=
BA

∴
OP
•(
OA
-
OB
)=(
OM
+
MP
)•
BA
=
OM
•
BA
+
MP
•
BA

∵
MP
與
BA
互相垂直
∴
MP
•
BA
=0
因此
OP
•(
OA
-
OB
)=
OM
•
BA

又∵△OAB中，OM是AB邊上的中線
∴
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
∴
OM
•
BA
=
1
2
(
OA
+
OB
) •
BA
=
1
2
(
OA
+
OB
)(
OA
-
OB
)
即
OM
•
BA
=
1
2
(|
OA
| 2-|
OB
| 2)
∵|
OA
|=7，|
OB
|=5，
∴
OP
•(
OA
-
OB
)=
OM
•
BA
=
1
2
(72-52)=12
故答案為：12
點評：本題考查了平面向量數量積的運算，著重考查了數量積在三角形中的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2
AC
+
CB
=0，則
OC
等于（　�。�
A、2
OA
-
OB
B、-
OA
+2
OB
C、
2
3
OA
-
1
3
OB
D、-
1
3
OA
+
2
3
OB

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O、A、B是平面上的三點，向量
O
A=
a
，
O
B=
b
，在平面AOB上，P為線段AB的垂直平分線上任一點，向量
OP
=
p
且|
a
|=3， |
b
|=2，則
p
•(
a
-
b
)值是（　　）
A、
5
2
B、5
C、3
D、
3
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2
AC
+
CB
=
0
，則
OC
=
2
OA
-
OB
2
OA
-
OB
（要求用
OA
，
OB
表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O、A、B是平面上三點，直線AB上有一點C滿足3
AC
+2
CB
=
0
，則
OC
等于（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O，A，B是平面上的三點，向量
OA
=
a
.
OB
=
b
，點C是線段AB的中點，設P為線段AB的垂直平分線CP上任意一點，向量
OP
=
P
，若|
a
|=4，|
b
|=2，則
p
•(
a
-
b
)=
6
6
．

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同步練習冊答案
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