Question

如圖，設斜率為的直線l與橢圓（a＞b＞0）相交于A，B兩點，若弦AB中點P的坐標為（，2），F為其右焦點．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若F點到直線l的距離為，求△FAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出A，B的坐標，利用點差法，可求得，從而可求橢圓的離心率；
（2）利用F點到直線l的距離為，確定橢圓的方程，從而可求△FAB的面積．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點P的坐標為（，2）
∴x₁+x₂=-5，y₁+y₂=4
∵直線l的斜率為，∴=
∵A，B在橢圓上，
∴，
兩式相減可得：+=0
∴+=0
∴，∴
∴；
（2）由（1）設a=5k，b=4k，則c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直線l的方程為y-2=（x+），即4x-5y+20=0
∵F點到直線l的距離為，∴=，∴k=1
∴橢圓方程為
∵直線l過橢圓上頂點（0，4）與左頂點（-5，0）
∴|AB|=
∴S_△FAB=．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查點差法的運用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．