Question

在數列{a_n}中，都有a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N*）（p為常數），則稱{a_n}為“等方差數列”．下列是對“等方差數列”的判斷：
（1）數列{（-1）ⁿ}是等方差數列；
（2）數列{a_n}是等方差數列，則數列{a_n²}也是等方差數列；
（3）若數列{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，則該數列必為常數列；
（4）若數列{a_n}是等方差數列，則數列{a_kn}（k為常數，k∈N^*）也是等方差數列．
則正確命題序號為

 

．

Answer 1

分析：利用等方差的定義一個一個地進行演算，能夠推出（2）不正確，其作的都正確．

解答：解：（1）數列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，（n≥2，n∈N*），
∴數列{（-1）ⁿ}是等方差數列．故（1）成立．
（2）例如：數列{

n

}是等方差數列，但是數列{n}不是等方差數列，
所以（2）不正確．
（3）∵數列{a_n}是等差數列，∴a_n-a_n-1=d．∵數列{a_n}是等方差數列，∴a_n²-a_n-1²=m，
∴（a_n-a_n-1）d=m，∴當d≠0時，an=d+

m

d

，既是等方差數列，又是等差數列，則該數列必為常數列．
（4）數列{a_n}中的項列舉出來是：a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
數列{a_kn}中的項列舉出來是：a_k，a_2k，a_3k，…
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=…=a_2k²-a_2k-1²=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴a_kn+1²-a_kn²=kp，所以，數列{a_kn}是等方差數列．
故正確命題序號為（1）、（3）、（4）．

點評：本題考查數列的性質及其應用，解題時要注意掌握數列的概念．