Question

設直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：a2＞

3k2

1+3k2

；
（Ⅱ）若

AC

=2

CB

，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．

Answer 1

分析：（I）設直線l的方程為y=k（x+1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合直線l與橢圓相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，從而解決問題．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（I），得y1+y2=

2k

1+3k2

，由

AC

=2

CB

，得y₂=

-2k

1+3k2

從而求得△OAB的面積，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值時的k值，從而△OAB的面積取得最大值時橢圓方程即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，
故y=k（x+1）可化為x=

1

k

y-1
將x=

1

k

y-1代入x²+3y²=a²，消去x，
得(

1

k2

+3)y2-

2

k

y+1-a2=0①（1分）
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
△=(-

2

k

)2-4(

1

k2

+3)(1-a2)＞0（2分）
化簡整理即得a2＞

3k2

1+3k2

．（☆）（4分）
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得y1+y2=

2k

1+3k2

②（5分）
因為

AC

=(-1-x1，-y1)，

CB

=(x2+1，y2)，由

AC

=2

CB

，
得y₁=-2y₂③（6分）
由②③聯(lián)立，解得y₂=

-2k

1+3k2

④（7分）
△OAB的面積S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|
=

3|k|

1+3k2

≤

3|k|

2 3 |k|

=

3

2

上式取等號的條件是3k²=1，即k=±

3

3

（9分）
當k=

3

3

時，由④解得y2=-

3

3

；
當k=-

3

3

時，由④解得y2=

3

3

．
將k=

3

3

，y2=-

3

3

及k=-

3

3

，y2=

3

3

這兩組值分別代入①，
均可解出a²=5（11分）
經(jīng)驗證，a²=5，k=±

3

3

滿足（☆）式．
所以，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程是x²+3y²=5（12分）
注：若未驗證（說明a2=5，k=±

3

3

）滿足（☆）式，扣（1分）．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．