Question

現有5位同學準備一起做一項游戲，他們的身高各不相同．現在要從他們5個人當中選擇出若干人組成A，B兩個小組，每個小組都至少有1人，并且要求B組中最矮的那個同學的身高要比A組中最高的那個同學還要高．則不同的選法共有
A．50種
B．49種
C．48種
D．47種

Answer 1

【答案】分析：先將5位同學按身高的不同由矮到高分別編號為1，2，3，4，5，組成集合M={1，2，3，4，5}，這樣就把要求的問題轉化為數學中的概率問題，再根據小組A中最高者的人數分情況討論即可．
解答：解：將5位同學按身高的不同由矮到高分別編號為1，2，3，4，5，組成集合M={1，2，3，4，5}．
①若小組A中最高者為1，則能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{2，3，4，5}的非空子集，這樣的子集有C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴=2⁴-1=15個，
∴不同的選法有15個；
②若A中最高者為2，則這樣的小組A有2個：{2}、{1，2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{3，4，5}的非空子集，這樣的子集（小組B）有2³-1=7個，
∴不同的選法有2×7=14個；
③若A中最高者為3，則這樣的小組A有4個：{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{4，5}的非空子集，這樣的子集（小組B）有2²-1=3個，
∴不同的選法有4×3=12個；④若A中最高者為4，則這樣的小組A有8個：{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B只有{5}1個，
∴不同的選法有8個．
∴綜上，所有不同的選法是15+14+12+8=49個．
故答案選B．
點評：本題主要考查了排列與組合的實際問題，要求同學們掌握好排列與組合的計算方法，并且要學會將實際問題轉化為數學問題．