Question

已知函數f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，a≥-2．
（I）若a=0，求f（x）的單調區間；
（II）討論函數f（x）在區間(

1

e

，+∞)上的極值點個數；
（III）是否存在a，使得函數f（x）的圖象在區間(

1

e

，+∞)上與x軸相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）若a=0，求函數的導數，利用導數求f（x）的單調區間；
（II）利用導數分別討論a的取值，進而討論函數f（x）在區間(

1

e

，+∞)上的極值點個數；
（III）假設存在a，使得f（x）在區間（

1

e

，+∞）上與x軸相切，則f（x）必與x軸相切于極值點處，利用導數與極值之間的關系進行討論．

解答：解：（1）當a=0時：f（x）=（xlnx+-1）e^x，（x＞0）
故f'（x）=（lnx+1+xlnx-1）e^x=lnx（x+1）e^x，
當x=1時：f'（x）=0，當x＞1時：f'（x）＞0，當x＜1時：f'（x）＜0．
故f（x）的減區間為：（0，1），增區間為（1，+∞）．
（2）f'（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，
令g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，
故g'（x）=

1

x

+lnx+1+a，g“（x）=-

1

x2

+

1

x

，
顯g''（1）=0，又當x＜1時：g''（x）＜0．當x＞1時：g''（x）＞0．
故g'（x）_min=g'（1）=2+a，
∵a≥-2，∴g'（x）≥g'（x）_min=2+a≥0．
故g（x）在區間（

1

e

，+∞）上單調遞增，
注意到：當x→+∞時，g（x）→+∞，
故g（x）在（

1

e

，+∞）上的零點個數由g（

1

e

）=（a-1）（a+1+

1

e

）的符號決定．
①當g（

1

e

）≥0，即：-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時：g（x）在區間（

1

e

，+∞）上無零點，
即f（x）無極值點．
②當g（

1

e

）＜0，即：-1-

1

e

＜a＜1時：g（x）在區間（

1

e

，+∞）上有唯一零點，
即f（x）有唯一極值點．
綜上：當2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時：f（x）在（

1

e

，+∞）上無極值點．
當：-1-

1

e

＜a＜1時：f（x）在（

1

e

，+∞）上有唯一極值點．
（3）假設存在a，使得f（x）在區間（

1

e

，+∞）上與x軸相切，則f（x）必與x軸相切于極值點處，
由（2）可知：-1-

1

e

＜a＜1時．不妨設極值點為x₀，則有：

f′(x0)=(lnx0+x0lnx0+ax0+a2)ex0=0 f(x0)=(x0lnx0+ax0+a2-a-1)ex0=0

…（*）同時成立．
聯立得：lnx₀+a+1=0，即x 0=e-(a+1)代入（*）可得e^-（a+1）+（a+1）-a²=0．
令t=-（a+1），則t∈(-2，

1

e

)，h（t）=e^t-t-（t+1）²，
則h'（t）=e^t-2t-3，h''（t）=e^t-2，當 t∈(-2，

1

e

)時，h″(t)＜h″(

1

e

)=e

1

e

-2＜0
（∵e

1

e

＜e

1

2

＜2）．故h'（t）在t∈(-2，

1

e

)上單調遞減．
又h'（-2）=e^-2+1＞0，h'（

1

e

）=e

1

e

-

2

e

-3＜0．故h'（t）在t∈(-2，

1

e

)上存在唯一零點t₀．
即當t∈（-2，t₀）時，h'（t）＞0，h（t）單調遞增．當t∈(t0，

1

e

)時，h'（t）＜0，h（t）單調遞減．
因為h（-2）=e^-2+1＞0，h'（

1

e

）=e

1

e

-

1

e2

-

3

e

-1＜0．
故h（t）在t∈（-2，t₀）上無零點，在t∈(t0，

1

e

)上有唯一零點．
由觀察易得h（0）=0，故a+1=0，即：a=-1．
綜上可得：存在唯一的a=-1使得f（x）在區間（

1

e

，+∞）上與x軸相切．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，綜合性較強，運算量較大，考查學生的運算能力，是一道難度非常大的難題．