Question

已知函數f（x）=2-2a^x-a^2x（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）若x∈[-1，2]時，函數f（x）的最小值為-6，求a的值并求函數f（x）的最大值．

Answer 1

（1）令 a^x=t＞0，可得函數h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．
由于 （t+1）²＞1，∴f（x）＜2，故函數f（x）的值域為（-∞，2）．
（2）①當a＞1時，由x∈[-1，2]可得，

1

a

≤t≤a²，由于函數h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在
區間[

1

a

，a²]上是減函數，
故當t=a²時，函數f（x）取得最小值為 3-（a²+1）²=-6，解得 a=

2

；故當t=

1

a

=

2

2

時，
函數取得最大值為

3

2

-

2

．
②當 0＜a＜1時，由x∈[-1，2]可得，

1

a

≥t≥a²，由于函數h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在
區間[a²，

1

a

]上是減函數，
故當t=

1

a

時，函數f（x）取得最小值為 3-(

1

a

+1)2=-6，解得 a=

1

2

，
故當t=a²=

1

4

時，函數取得最大值為3-

25

16

=

23

16

．
綜上可得，a的值等于

2

，函數f（x）的最大值為

3

2

-

2

；或者是a=

1

4

，函數的最大值為

23

16

．