Question

【題目】已知函數f(x)＝x|x2－12|的定義域為[0，m]，值域為[0，am2]，則實數a的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】a≥1

【解析】僅考慮函數f(x)在x>0時的情況，可知函數f(x)在x＝2時，取得極大值16.

令x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函數的圖象(如右圖所示)．

函數f(x)的定義域為[0，m]，值域為[0，am2]，分為以下情況考慮：

①當0<m<2時，函數的值域為[0，m(12－m2)]，有m(12－m2)＝am2，所以a＝－m，因為0<m<2，所以a>4；

②當2≤m≤4時，函數的值域為[0, 16]，有am2＝16，所以a＝，因為2≤m≤4，所以1≤a≤4；

③當m>4時，函數的值域為[0，m(m2－12)]，有m(m2－12)＝am2，所以a＝m－，因為m>4，所以a>1.

綜上所述，實數a的取值范圍是a≥1.