Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
（1）求f（0）的值．
（2）證明函數(shù)f（x）是周期函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)得到f（-x）=-f（x），所以令x=0得，f（-0）=-f（0），可得f（0）=0．
（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱得到f（1+x）=f（1-x），然后利用函數(shù)的周期性的定義證明即可．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），當(dāng)x=0時(shí)，f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于x=1對(duì)稱，所以f（1+x）=f（1-x），
即f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
所以f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=f（x）．
所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的應(yīng)用，以及函數(shù)周期性的判斷．考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．