Question

如圖，某機場建在一個海灣的半島上，飛機跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60度（海岸線可以看作是直線），跑道上離海岸線距離最近的點B到海岸線的距離． D為海灣一側海岸線CT上的一點，設CD=x（km），點D對跑道AB的視角為θ．
（Ⅰ）將tanθ表示為x的函數；
（Ⅱ）求點D的位置，使θ取得最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F．由題可知，AB=4.5，BC=4，∠ABF=90°-60°=30°，
所以CE=AF=4.5×sin30°=，BF=4.5×cos30°=，AE=CF=BC+BF=．
因為CD=x（x＞0）．所以tan∠BDC==．
當x＞時，ED=x-，tan∠ADC===（如圖1）．
當0＜x＜時，ED=-x，tan∠ADC==（如圖2）．
所以tanθ=tan∠ADB=tan（∠ADC-∠BDC）===，其中x＞0且x≠．
當x=時，tanθ==，符合上式．
所以tanθ=．x＞0

圖1圖2

（Ⅱ）tanθ==，x＞0．
因為4（x+4）+-41≥2=39，當且僅當4（x+4）=，即x=6時取等號．
所以當x=6時，4（x+4）+-41取最小值39．
所以當x=6時，tanθ取最大值．
由于y=tanx在區間（0，）上是增函數，所以當x=6時，θ取得最大值．
答：在海灣一側的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大．
分析：（Ⅰ）過A分別作直線CD，BC的垂線，求出AE，在直角三角形中，設CD=x，利用三角函數tan∠BCD，討論x的取值范圍得到tan∠ADC有兩種情況求得結果一樣，而tanθ等于tan∠ADC-tan∠BDC，利用正切公式tan（α-β）=求出其值即可．
（Ⅱ）根據當且僅當a=b時取等號的方法，求出tanθ的最大值，根據正切函數是單調增函數得到x的值表示出D的位置即可．
點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力．