Question

已知函數f（x）=2x³-3ax²+a+b（其中a，b為實常數）．
（I）討論函數的單調區間；
（II） 當a＞0時，函數f（x）有三個不同的零點，證明：-a＜b＜a³-a；
（III） 若f（x）在區間[1，2]上是減函數，設關于X的方程f（x）=2x³-2ax²+3x+a+b的兩個非零實數根為x₁，x₂．試問是否存在實數m，使得m²+tm+1≤|x₁-x₂|對任意滿足條件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導函數，對參數a進行討論，利用導數的正負，確定函數的單調區間；
（II）確定f（x）的極大值為f（0）=a+b，f（x）的極小值為f（a）=a+b-a³，要使f（x）有三個不同的零點，則，從而得證；
（III）先確定|x₁-x₂|=，并求得其最小值，假設存在實數m滿足條件，則m²+tm+1≤（）_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，從而可求m的范圍．
解答：（I）解：∵f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
當a=0時，f′（x）=6x≥0，于是f（x）在R上單調遞增；
當a＞0時，x∈（0，a），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上單調遞減；
x∈（-∞，0）∪（a，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，x∈（a，0），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上單調遞減；
x∈（-∞，a）∪（0，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上單調遞增．
綜上所述：當a=0時，f（x）的增區間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，f（x）的增區間為（-∞，0），（a，+∞），f（x）的減區間為（0，a）；
當a＜0時，f（x）的增區間為（-∞，a），（0，+∞），f（x）的減區間為（a，0）．…（3分）
（II）證明：當a＞0時，由（I）得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上是增函數，f（x）在（0，a）上是減函數；
則f（x）的極大值為f（0）=a+b，f（x）的極小值為f（a）=a+b-a³．
要使f（x）有三個不同的零點，則，即
可得-a＜b＜a³-a．…（8分）
（III）解：由2x³-3ax²+a+b=x³-2ax²+3x+a+b，得x³-ax²-3x=0即x（x²-ax-3）=0，
由題意得x²-ax-3=0有兩非零實數根x₁，x₂，則x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，
∴|x₁-x₂|=．
∵f （x）在[1，2]上是減函數，
∴f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a）≤0在[1，2]上恒成立，其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，
∴a≥2．
∴≥4．
假設存在實數m滿足條件，則m²+tm+1≤（）_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，
∴，解得≤m≤．
∴存在實數m滿足條件，此時m∈[，]．  …（14分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查函數的極值與最值，考查恒成立問題，綜合性強．