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設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸，離心率e=，已知點(diǎn)P(0,)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).

試題答案

練習(xí)冊(cè)答案

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思路解析：利用橢圓的參數(shù)方程或范圍，在橢圓上找到與點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)，使問(wèn)題得以突破.

解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為（其中a＞b＞0，0≤θ＜2π

由e²==1-()²=,得a=2b.

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d，

由d²=x²+(y-)²=a²cos²θ+(bsinθ-)²=-3b²(sinθ+)²+4b²+3.

如果＞1，即b＜,

那么當(dāng)sinθ=-1時(shí),d²取得最大值（）²=(b+)².

由此得b=-＞與b＜矛盾.

因此必有≤1,此時(shí)當(dāng)sinθ=-時(shí),

d²取得最大值()²=4b²+3，

解得b=1,a=2.

所求橢圓的參數(shù)方程是

由sinθ=-,cosθ=±求得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)是(-,-)與(,-).

解法二：設(shè)所求橢圓的方程為+=1（a＞b＞0）,

由e²==1-()²=，解得=.

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d.

則d²=x²+(y-)²=a²-y²+(y-)²

=-3y²-3y+4b²+=-3(y+)²+4b²+3,其中-b≤y≤b.

如果b＜，則當(dāng)y=-b時(shí)，d²取得最大值()²=(b+)²,

解得b=-＞與b＜矛盾,故必有b≥.

當(dāng)y=-時(shí)d²取得最大值()²=4b²+3，解得b=1,a=2,

所求橢圓方程為+y²=1.

由y=-可求得到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)為（±，-）.

方法歸納

與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常考慮利用參數(shù)方程，或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用橢圓的范圍求解，還可以考慮幾何法，特別是直線與橢圓，在相切時(shí)取得最值.

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