Question

設橢圓M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

7

4

，點A（0，a），B（-b，0），C（0，-a），原點O到直線AB的距離為

12

5

，點P在橢圓M上（與A，C均不重合），點D在直線PC上，若直線PA的方程為x=my-4，且

PC

•

BD

=0．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求直線BD的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b．由點A（0，a），B（-b，0），知直線AB的方程為4x-3y+4b=0，由原點O到直線AB的距離

|0+0+4b|

42+(-3)2

=

4b

5

=

12

5

，知b=3，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由A（0，4），B（-3，0），直線l_PA：x=my-4，知m=1，即l_PA：x-y+4=0，設P（x₀，y₀），則x₀²=

144-9 y 2 0

16

=

9

16

（16-y₀²），k_PC•k_PA=

y0+4

x0

×

y0-4

x0

=

y 2 0 -16

x 2 0

=

y 2 0 -16

9 16 (16- y 2 0 )

=-

16

9

．由此入手能夠求出直線BD的方程．

解答：解：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b（2分）
由點A（0，a），B（-b，0）知直線AB的方程為

x

-b

+

y

a

=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原點O到直線AB的距離

|0+0+4b|

42+(-3)2

=

4b

5

=

12

5

，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
從而橢圓M的方程為：

y2

16

+

x2

9

=1．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（0，4），B（-3，0），而直線l_PA：x=my-4，∴4m-4=0，?m=1，
即l_PA：x-y+4=0，（6分）
設P（x₀，y₀），則

y 2 0

16

+

x 2 0

9

=1，∴x₀²=

144-9 y 2 0

16

=

9

16

（16-y₀²）
k_PC•k_PA=

y0+4

x0

×

y0-4

x0

=

y 2 0 -16

x 2 0

=

y 2 0 -16

9 16 (16- y 2 0 )

=-

16

9

∴k_PC=-

16

9kPA

=--

16

9

，（9分）
∵

PC

•

BD

=0，∴k_PCk_BD=-1，即k_BD=-

1

kPC

=

9

16

，（11分）
又B（-3，0），∴直線BD的方程為y=

9

16

（x+3）即9x-16y+27=0（12分）
注：本問也可先求出P點坐標，再求直線方程．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓性質，合理進行等價轉化．