Question

設f（x）是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f（2-x）+f（x）=0恒成立．如果實數m、n滿足不等式組

f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0 m＞3

’則m²+n²的取值范圍是（　　）

A．（3，7）

B．（9，25）

C．（13，49）

D．（9，49）

Answer 1

分析：由f（2-x）+f（x）=0，得f（2-x）=-f（x），從而f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0可化為f（m²-6m+23）＜-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），根據f（x）在R上單調遞增，可得m²-6m+23＜2-n²+8n，整理得（m-3）²+（n-4）²＜4，由此可畫出不等式組

f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0 m＞3

所表示的點（m，n）對應的區域，根據m²+n²的幾何意義可求得答案．

解答：解：∵f（2-x）+f（x）=0，
∴f（2-x）=-f（x），
∴f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，可化為f（m²-6m+23）＜-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），
又f（x）在R上單調遞增，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n，即m²-6m+23+n²-8n-2＜0，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4，
∴不等式組

f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0 m＞3

’即為

(m-3)2+(n-4)2＜4 m＞3

，
點（m，n）所對應的區域為以（3，4）為圓心，2為半徑的右半圓（不含邊界），如圖陰影部分所示：

易知m²+n²表示點（m，n）到點（0，0）的距離的平方，
由圖知，|OA|²＜m²+n²＜|OB|²，
可得點A（3，2），
∴|OA|²=3²+2²=13，|OB|²=（5+2）²=49，
∴13＜m²+n²＜49，即m²+n²的取值范圍為（13，49）．
故選C．

點評：本題考查函數恒成立問題、線性規劃問題，考查數形結合思想，考查學生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．