Question

57：函數與方程的綜合運用（理）已知點M（x，y）是曲線C₁：3x³-4xy+24=0上的動點，與M對應的點的軌跡是曲線C₂．
（1）求曲線C₂的方程，并表示為y=f（x）的形式；
（2）判斷并證明函數y=f（x）在區間上的單調性．

Answer 1

解：（1）設P（m，n）是曲線C₂上的任意一點，則
∵
∴
∴x=2m，y=3n
∴M（2m，3n）在曲線C₁上…（3分）
∴3（2m）³-4（2m）（3n）+24=0，則曲線C₂的方程為m³-mn+1=0
即x³-xy+1=0
所以…（6分）
（2）解：函數y=f（x）在區間上是增函數
證明：任取
則…（9分）
∵，
∴
∴，
∴，
又x₁-x₂＜0
∴，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函數y=f（x）在區間上是增函數…（12分）
分析：（1）設P（m，n）是曲線C₂上的任意一點，利用條件求出M的坐標，利用已知的方程可求出關于m，n的方程，從而求出曲線C₂的方程；
（2）利用單調性的定義，取點，作差，變形，定號，下結論，從而可判斷并證明函數的單調性．
點評：本題以曲線方程為載體，考查代入法求軌跡方程，考查函數的單調性，證明時，利用取點，作差，變形，定號，下結論是關鍵．