Question

已知函數．
(1)若函數在區間上存在極值點，求實數的取值范圍；
(2)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
(3)求證：．（，為自然對數的底數）

Answer 1

(1) 實數的取值范圍為;(2)的取值范圍為;(3) 見解析.

試題分析：(1)先利用導數求出函數在處取得唯一的極值，因為函數在區間上存在極值點，故；（2）根據條件可得，然后令，求出的最小值，即可解得的范圍；（3）由（2）的結論可得，令，則有，分別令，則有
將這個不等式左右兩邊分別相加可得.
試題解析：（1）函數定義域為，，
由，當時，，當時，，
則在上單增，在上單減，函數在處取得唯一的極值。
由題意得，故所求實數的取值范圍為    4分
(2) 當時，不等式．      6分
令，由題意，在恒成立。

令，則，當且僅當時取等號。
所以在上單調遞增，
因此，則在上單調遞增，
所以，即實數的取值范圍為                 9分
（3）由（2）知，當時，不等式恒成立，
即，             11分
令，則有．
分別令，則有，
將這個不等式左右兩邊分別相加，則得

故，從而．     14分