Question

（滿分12分）在銳角△ABC中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．

（1）若a²－ab＝c²－b²，求A、B、C的大小；

（2）已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）A=5π /12 ，B=π /4 ． C=π/ 3；（2）1≤|3m-2n|＜ 7 ．

【解析】本試題主要是考查了解三角形中余弦定理的運用，以及兩角差的正切公式的運用，以及向量的數量積綜合運用問題，三角函數的性質等等知識點的交匯處命題。

（1）先將已知的正切關系式化簡，再利用余弦定理得到角A,B,C的值

（2）因為向量的模的平方就是向量的平方，那么可知，結合角的范圍可知得到三角函數的值域。

解：因為 3 （tanA-tanB）=1+tanA•tanB，

所以tan(A-B)=（tanA-tanB) /(1+tanA•tanB) = ，

∴A-B=π/ 6 ．…（2分）

（1）因為a²+b²-2abcosC=c2，所以cosC=1/ 2 ，∴C=π/ 3 ，…（4分）

A+B=2π/ 3 ，又A-B=π/ 6 ，

∴A=5π /12 ，B=π /4 ．…（6分）

（2）因為向量 m =(sinA，cosA)， n =(cosB，sinB)，

∴|3 m -2 n |2=13-12 m •  n =13-12sin(A+B)=13-12sin(2A-π 6 )…（8分） 0＜A＜π 2  0＜B＜π/ 2  0＜C＜π/ 2    ⇒ 0＜A＜π /2  0＜A-π /6 ＜π /2  0＜π-2A+π/ 6 ＜π/ 2    ⇒π/ 6 ＜A＜π/ 2 ．…（10分）

π /6 ＜2A-π /6 ＜5π/ 6 ，6＜12sina(2A-π /6 )≤12，

1≤|3m-2n|＜ 7 ．…（12分）