Question

【題目】已知拋物線（）上的兩個動點和，焦點為F.線段AB的中點為，且A，B兩點到拋物線的焦點F的距離之和為8.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若線段AB的垂直平分線與x軸交于點C，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用拋物線的定義可得，求出的值，從而得到拋物線的方程；
（2）設直線AB的方程為：，與拋物線方程聯立，利用韋達定理和弦長公式可得，利用AB的中垂線方程可得點C的坐標，再利用點到直線距離公式求出點C到直線AB的距離d，所以，令，則，利用導數可得最值.

（1）由題意知，則，

∴，

∴拋物線的標準方程為；

（2）設直線（）

由，得，

∴，

∴，

即，

即，

∴，

設AB的中垂線方程為：，即，

可得點C的坐標為，

∵直線，即，

∴點C到直線AB的距離，

∴

令，則，

令，

∴，

令，則，在上；在上，

故在單調遞增，單調遞減，

∴當，即時，.