Question

（16分）如圖所示，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q，當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離.

Answer 1

點M到x軸的最短距離是+1

 設P（x₀，y₀），則y₀=x,
∴過點P的切線斜率k=x₀,
當x₀=0時不合題意，∴x₀≠0.
∴直線l的斜率k_l=-=-,
∴直線l的方程為y-x=-(x-x₀).
此式與y=x²聯立消去y得
x²+x- x-2=0.
設Q（x₁,y₁）,M(x,y).∵M是PQ的中點，
∴,
消去x₀，得y=x²++1(x≠0)就是所求的軌跡方程.由x≠0知x²＞0,
∴y=x²++1≥2+1=+1.
上式等號僅當x²=,即x=±時成立，
所以點M到x軸的最短距離是+1.