Question

【題目】設，函數．

（Ⅰ）討論函數的單調區間和極值；

（Ⅱ）已知（是自然對數的底數）和是函數的兩個不同的零點，求的值并證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①當時，函數的遞增區間為，無極值，②當時，函數的遞增區間為，遞減區間是，函數的極大值為；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

試題（Ⅰ）分別令及分情況討論；（Ⅱ）由已知得，由（Ⅰ）函數在遞減及，，可知函數在區間有唯一零點，由此得證.

試題解析：（Ⅰ）由已知得，，

①若，則，是區間上的增函數，無極值；

②若，令，得，

在區間上，，函數是增函數，

在區間上，，函數是減函數，

所以在區間上，的極大值為．

綜上所述，①當時，函數的遞增區間為，無極值；②當時，函數的遞增區間為，遞減區間是，函數的極大值為．

（Ⅱ）因為，所以，解得，所以，

又，，所以，

由（Ⅰ）函數在遞減，故函數在區間有唯一零點，因此．