Question

已知函數　（為實常數）。
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數在區間上無極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知且，求證: .

Answer 1

（Ⅰ）在時遞增；在時遞減。
（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

本試題主要是考查了導數在研究函數極值和單調性方面的運用以及利用導數來證明不等式的綜合問題。
（1）因為函數　（為實常數）。當時，求函數的單調區間，求解導數，然后解不等式得到結論。
（2）因為，然后對于參數a進行分類討論得到單調性和極值問題的判定。
（3）由（Ⅱ）知，當時，在處取得最大值.
即.
利用放縮法得打結論。
解：(I)當時，，其定義域為；
，
令，并結合定義域知； 令，并結合定義域知；
故在時遞增；在時遞減。
（II）,
①當時，，在上遞減，無極值；
②當時，在上遞增，在上遞減，故在處取得極大值.要使在區間上無極值，則.
綜上所述，的取值范圍是.  
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在處取得最大值.
即.
令，則，即　，