Question

側棱長為a的正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（　　）

• A、

  2

  πa2
• B、2πa²
• C、

  3

  πa2
• D、3πa²

Answer 1

分析：側棱長為a的正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，說明三棱錐的正方體的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對角線，求出直徑，即可求出球的表面積．

解答：解：因為側棱長為a的正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，三棱錐的正方體的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對角線，正方體的對角線長為：

3

a；
所以球的表面積為：4π(

3 a

2

)2=3πa²
故選D

點評：本題是基礎題，考查三棱錐的外接球的表面積的求法，三棱錐擴展為正方體是本題的關鍵，正方體的對角線是外接球的直徑也不容忽視，考查計算能力．