Question

如圖是計算首項為1的數列{a_n}前m項和S_m的算法框圖，
（1）判斷m的值；
（2）試寫出a_n與a_n+1的關系式，并求該數列的通項公式
（3）根據框圖分別利用For語句和Do Loop語句寫出算法程序；
（4）在電腦上運行此程序，最后輸出的結果是多少？

Answer 1

解：（1）由程序框圖可以看出：循環程序是先執行一次，然后再判斷條件，當執行了2010次以后，i變為2011，而2011＞2010，故應跳出循環，故是求前2010項和的值，因此m=2010．
（2）由a←1，a←a+1，∴a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），∴數列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列，∴，∴．
∴數列{a_n}的通項公式為．
（3）
用For語句描述算法為：
a=1
S=0
For i=1 To 2010
S=S+a
a=2a+1
Next
輸出S
用Do Loop語句描述算法為：
a=1
S=0
i=1
Do
S=S+a
a=2a+1
i=i+1
Loop While i＜=2010
輸出S
（4）由（2）可知，，
∴S₂₀₁₀=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2²⁰¹⁰-1）=2¹+2²+…+2²⁰¹⁰-2010=-2010=2²⁰¹¹-2012．
分析：（1）由判斷框可知當i＞2010，應跳出循環，據此求出m．（2）由a←1，a←a+1，可得a₁=1，a_n+1=2a_n+1，可變形為a_n+1+1=2（a_n+1），進而可求出其通項公式．
（3）根據For語句及Do Loop語句寫出即可．（4）由（2）中的通項公式，再根據等比數列的前n項公式求出即可．
點評：本題綜合考查了循環結構的判斷條件、輸出結果、For語句及Do Loop語句，充分理解循環結構的功能和掌握For語句及Do Loop語句的結構形式是解題的關鍵．