Question

已知拋物線C：x²=py，頂點O（0，0）焦點F（0，1）
（1）求C的方程；
（2）過F作直線交C于A、B，AO，BO交直線l：y=x-2于M，N，求|MN|的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由拋物線的幾何性質及題設條件焦點F（0，1）可直接求得p，確定出拋物線的開口方向，寫出它的標準方程；
（2）由題意，可A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+1，將直線方程與（1）中所求得方程聯立，再結合弦長公式用所引入的參數表示出|MN|，根據所得的形式作出判斷，即可求得最小值．

解答： 解：（1）∵由拋物線C：x²=py，頂點O（0，0）焦點F（0，1）．
∴

p

4

=1，
解得p=4，
故拋物線C的方程為x²=4y，
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2=4y

消去y，整理得x²-4kx-4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，從而有|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2+1

，
由

y=x-2 y= y1 x1 x

解得點M的橫坐標為x_M=

2x1

x1-y1

=

2x1

x1- 1 4 x12

=

8

4-x1

，
同理可得點N的橫坐標為x_N=

8

4-x2

，
所以|MN|=

2

|x_M-x_N|=

2

|

8

4-x1

-

8

4-x2

|=8

2

|

x1-x2

x1x2-4(x1+x2)+16

|=

8 2 k2+1

|4k-3|

，
令4k-3=t，t不為0，則k=

t+3

4

，
當t＞0時，|MN|=2

2

25 t2 + 6 t +1

＞2

2

；
當t＜0時，|MN|=2

2

25 t2 + 6 t +1

=2

2

( 5 t + 3 5 )2+ 16 25

≥

8 2

5

；
綜上所述，當t=-

25

3

時，|MN|的最小值是

8 2

5

點評：本題主要考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，本題考查了數形結合的思想及轉化的思想，將問題恰當的化歸可以大大降低題目的難度，如本題最后求最值時引入變量t，就起到了簡化計算的作用